Calcolo Esempi

$16 x^{3} + y^{3} = 3$ , $(2, - 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = - 5$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (16 x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$48 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$48 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$48 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$48 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $48 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 48$ e $3$ .

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Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 48 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 (y^{2})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 16 x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = - 5$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $- 5$ nell'espressione.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.3.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$- \frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2^{4 + 2}}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 1.7.3.3

Somma $4$ e $2$ .

$- \frac{2^{6}}{{(- 5)}^{2}}$

Passaggio 1.7.4

Calcola gli esponenti.

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Passaggio 1.7.4.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2^{6}}{25}$

Passaggio 1.7.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$- \frac{64}{25}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{64}{25}$ e un punto dato $(2, - 5)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = - \frac{64}{25} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 5 = 0 + 0 - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 5 = - \frac{64}{25} x - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{64}{25} \cdot - 2$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + 2 (\frac{64}{25})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$2$ e $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{2 \cdot 64}{25}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $64$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{128}{25}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $64$ alla sinistra di $x$ .

$y + 5 = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5 \cdot \frac{25}{25}$

Passaggio 2.3.2.3

$- 5$ e $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} + \frac{- 5 \cdot 25}{25}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 5 \cdot 25}{25}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $- 5$ per $25$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 125}{25}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Sottrai $125$ da $128$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{3}{25}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{64}{25} x) + \frac{3}{25}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{64}{25} x + \frac{3}{25}$

Passaggio 3