Calcolo Esempi

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.9

Moltiplica $e^{- x^{2}}$ per $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.10.1

Riordina i termini.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Passaggio 1.11

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

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Passaggio 1.12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.12.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + e^{- 0}$

Passaggio 1.12.1.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + e^{0}$

Passaggio 1.12.1.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 1$

Passaggio 1.12.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(0, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $1 \cdot (x + 0)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $x + 0$ per $1$ .

$y = x + 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$y = x$

Passaggio 3