Calcolo Esempi

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \frac{1}{e}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i fattori in $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Passaggio 1.6.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Passaggio 1.6.1.5

Riscrivi $- 1 \frac{1}{e}$ come $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Passaggio 1.6.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

Passaggio 1.6.1.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Passaggio 1.6.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

Passaggio 1.6.1.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

Passaggio 1.6.1.10

$3$ e $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

Passaggio 1.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.6.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

Passaggio 1.6.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{e}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{2}{e}$ e un punto dato $(1, \frac{1}{e})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.1.1

Sottrai $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.3.1.2.2

$x$ e $\frac{2}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.3.1.2.3

Moltiplica $- \frac{2}{e} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{2}{e}$ per $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Passaggio 2.3.1.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Passaggio 2.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

Passaggio 2.3.1.4

Somma $- 1$ e $2$ .

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Passaggio 2.3.1.5

Per scrivere $y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Passaggio 2.3.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

Passaggio 2.3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$y e - 2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.3

Risolvi l'equazione per $y$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.3.1.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e + 1 = 2 x$

Passaggio 2.3.3.1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y e = 2 x - 1$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi per $e$ ciascun termine in $y e = 2 x - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Dividi per $e$ ciascun termine in $y e = 2 x - 1$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Passaggio 2.3.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

Passaggio 2.3.4

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

Passaggio 3