Calcolo Esempi

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$ , $(4, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi il lato sinistro con esponenti razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 3$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 3$

Passaggio 1.2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Passaggio 1.3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Passaggio 1.3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Passaggio 1.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Passaggio 1.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Passaggio 1.3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Passaggio 1.3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Passaggio 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Passaggio 1.3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Passaggio 1.3.3.10

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 1.6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sottrai $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica ogni lato per $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1

Semplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1

Semplifica $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.2.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.6.3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.6.3.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.6.3.2.1.2

$\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6.3.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8

Calcola con $x = 4$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{{(1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.8.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.8.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2^{1}}$

Passaggio 1.8.4.4

Calcola l'esponente.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{2}$ e un punto dato $(4, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2))$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 2$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{2} + 2 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 3$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 3$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

Passaggio 3