Calcolo Esempi

$f (x) = {({(x - 2)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 3$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = {({(3 - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ${({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Sottrai $2$ da $3$ .

$y = {(1^{2} - (3))}^{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = {(1 - (3))}^{2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = {(1 - 3)}^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = 4$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x - 2)}^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 2) - 1)$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 4 - 1)$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$(2 ((x - 2) (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$(2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$(2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$(2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.5.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.4.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.5

Sottrai $2 x$ da $- 8 x$ .

$(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$

Passaggio 2.5.6

Espandi $(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.2.1

Sposta $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.4

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x \cdot x - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.6.1

Sposta $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.7

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.8

Moltiplica $- 5$ per $- 10$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.9

Moltiplica $2$ per $8$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x + 8 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.7.10

Moltiplica $8$ per $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Passaggio 2.5.8

Sottrai $20 x^{2}$ da $- 10 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Passaggio 2.5.9

Somma $50 x$ e $16 x$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 66 x - 40$

Passaggio 2.6

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 27 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $4$ per $27$ .

$108 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Passaggio 2.7.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$108 - 30 \cdot 9 + 66 (3) - 40$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $- 30$ per $9$ .

$108 - 270 + 66 (3) - 40$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $66$ per $3$ .

$108 - 270 + 198 - 40$

Passaggio 2.7.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Sottrai $270$ da $108$ .

$- 162 + 198 - 40$

Passaggio 2.7.2.2

Somma $- 162$ e $198$ .

$36 - 40$

Passaggio 2.7.2.3

Sottrai $40$ da $36$ .

$- 4$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 4$ e un punto dato $(3, 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 4 \cdot (x - (3))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 4 \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 3)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = - 4 x - 4 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$y - 4 = - 4 x + 12$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 4 x + 12 + 4$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $12$ e $4$ .

$y = - 4 x + 16$

Passaggio 4