Calcolo Esempi

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 2$ , $(1, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Passaggio 1.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Passaggio 1.2.5.3

Riordina i termini.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Passaggio 1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Passaggio 1.5.1.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $2 y'$ da $2 x y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $2 y'$ da $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $2 y'$ da $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $2 (x - y)$ ciascun termine in $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $2 (x - y)$ ciascun termine in $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Per scrivere $\frac{- x - y}{x - y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - y) \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.4.1

Moltiplica $\frac{- x - y}{x - y}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.4.2

Riordina i fattori di $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.7.6.1

Riscrivi $- (2 x + 2 y + 1)$ come $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{2 (1) + 2 y + 1}{2 ((1) - y)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $2$ nell'espressione.

$- \frac{2 (1) + 2 (2) + 1}{2 ((1) - (2))}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{2 + 2 (2) + 1}{2 (1 - (2))}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{2 + 4 + 1}{2 (1 - (2))}$

Passaggio 1.7.3.3

Somma $2$ e $4$ .

$- \frac{6 + 1}{2 (1 - (2))}$

Passaggio 1.7.3.4

Somma $6$ e $1$ .

$- \frac{7}{2 (1 - (2))}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{7}{2 (1 - 2)}$

Passaggio 1.7.4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{7}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{7}{- 2}$

Passaggio 1.7.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{7}{2}$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica $- - \frac{7}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{7}{2})$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $\frac{7}{2}$ per $1$ .

$\frac{7}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{7}{2}$ e un punto dato $(1, 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{7}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{7}{2} \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = \frac{7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{7}{2}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{7}{2}$ e $- 1$ .

$y - 2 = \frac{7 x}{2} + \frac{7 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$y - 2 = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 2 = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2} + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7 + 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7 + 4}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 7$ e $4$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{7}{2} x - \frac{3}{2}$

Passaggio 3