Calcolo Esempi

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = π$ e $y = - 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.9

Moltiplica.

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Passaggio 1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.9.2

Moltiplica $1 + \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.10.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.10.2.1.1

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 1.10.2.1.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.2

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.3

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.4

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.11

Calcola la derivata per $x = π$ .

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

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Passaggio 1.12.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.12.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12.1.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.12.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.12.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 1.12.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.12.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(π, - 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x - π$ per $1$ .

$y + 1 = x - π$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - π - 1$

Passaggio 3