Calcolo Esempi

y = \frac{1 + sin (x)}{cos (x)}

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ ,

(π, - 1)

$(π, - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi

x = π

$x = π$ e

y = - 1

$y = - 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

f (x) = 1 + sin (x)

$f (x) = 1 + \sin (x)$ e

g (x) = cos (x)

$g (x) = \cos (x)$ .

\frac{cos (x) \frac{d}{d x} [1 + sin (x)] - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

1 + sin (x)

$1 + \sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [sin (x)]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

\frac{cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [sin (x)]) - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.2

Poiché

1

$1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

1

$1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

\frac{cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [sin (x)]) - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.3

Somma

0

$0$ e

\frac{d}{d x} [sin (x)]

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

\frac{cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)] - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

\frac{cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)] - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

La derivata di

sin (x)

$\sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{cos (x) cos (x) - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.4

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{{cos}^{1} (x) cos (x) - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.5

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{{cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x) - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{{cos (x)}^{1 + 1} - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.7

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) - (1 + sin (x)) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.8

La derivata di

cos (x)

$\cos (x)$ rispetto a

x

$x$ è

- sin (x)

$- \sin (x)$ .

\frac{{cos}^{2} (x) - (1 + sin (x)) (- sin (x))}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.9

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 (1 + sin (x)) sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.9.2

Moltiplica

1 + sin (x)

$1 + \sin (x)$ per

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + (1 + sin (x)) sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{cos}^{2} (x) + (1 + sin (x)) sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

\frac{{cos}^{2} (x) + 1 sin (x) + sin (x) sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1.1

Moltiplica

sin (x)

$\sin (x)$ per

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + sin (x) + sin (x) sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2

Moltiplica

sin (x) sin (x)

$\sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1.2.1

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + sin (x) + {sin}^{1} (x) sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2.2

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + sin (x) + {sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2.3

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{{cos}^{2} (x) + sin (x) + {sin (x)}^{1 + 1}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.1.2.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + sin (x) + {sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{cos}^{2} (x) + sin (x) + {sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{cos}^{2} (x) + sin (x) + {sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.2

Sposta

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ .

\frac{{cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x) + sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.3

Rimetti in ordine i termini.

\frac{{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) + sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2.4

Applica l'identità pitagorica.

\frac{1 + sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

\frac{1 + sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

\frac{1 + sin (x)}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.11

Calcola la derivata per

x = π

$x = π$ .

\frac{1 + sin (π)}{{cos}^{2} (π)}

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

\frac{1 + sin (0)}{{cos}^{2} (π)}

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12.1.2

Il valore esatto di

sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

\frac{1 + 0}{{cos}^{2} (π)}

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12.1.3

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

\frac{1}{{cos}^{2} (π)}

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

\frac{1}{{cos}^{2} (π)}

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Passaggio 1.12.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

\frac{1}{{(- cos (0))}^{2}}

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.2

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

\frac{1}{{(- 1)}^{2}}

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.4

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.12.3

Elimina il fattore comune di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.12.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare

$1$ e un punto dato

$(π, - 1)$ a

$x_{1}$ e

$y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Passaggio 2.3

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica

$x - π$ per

$1$ .

$y + 1 = x - π$

Passaggio 2.3.2

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - π - 1$

Passaggio 3