Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x + 9}$ at the point where $x = 0$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = \sqrt{(0) + 9}$

Passaggio 1.2

Semplifica $\sqrt{(0) + 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $0$ e $9$ .

$y = \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 3$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 9}$ come ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 9$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 2.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.12

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$\frac{1}{2 {((0) + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13

Semplifica.

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Passaggio 2.13.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.13.1.1

Somma $0$ e $9$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.13.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.13.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.13.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 2.13.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{6}$ e un punto dato $(0, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (0))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x + 0)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{1}{6} \cdot (x + 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot x$

Passaggio 3.3.1.2

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6}$

Passaggio 3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{6} + 3$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{6} x + 3$

Passaggio 4