Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica ${(3 - (1))}^{2}$ per $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

Passaggio 1.2.3.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$y = 2^{2}$

Passaggio 1.2.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = 4$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(3 - x)}^{2}$ come $(3 - x) (3 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

Passaggio 2.2

Espandi $(3 - x) (3 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5

Differenzia.

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Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - 6 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

Passaggio 2.5.9

Sposta $4$ alla sinistra di $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.2.1

Sposta $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.4

Moltiplica $4$ per $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.5

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.6

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.6.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

Passaggio 2.6.4.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

Passaggio 2.6.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

Passaggio 2.6.4.7.3

Somma $3$ e $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

Passaggio 2.6.4.8

Sottrai $24 x^{4}$ da $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

Passaggio 2.6.4.9

Somma $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

Passaggio 2.6.5

Riordina i termini.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

Passaggio 2.7

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

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Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Passaggio 2.8.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

Passaggio 2.8.1.4

Moltiplica $- 30$ per $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

Passaggio 2.8.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

Passaggio 2.8.1.6

Moltiplica $36$ per $1$ .

$6 - 30 + 36$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $30$ da $6$ .

$- 24 + 36$

Passaggio 2.8.2.2

Somma $- 24$ e $36$ .

$12$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $12$ e un punto dato $(1, 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $12 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 12 x - 12 + 4$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 12$ e $4$ .

$y = 12 x - 8$

Passaggio 4