Calcolo Esempi

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $- \frac{π}{4}$ a $x$ .

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Passaggio 1.2.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel quarto quadrante.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Passaggio 1.2.2.1.3

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Passaggio 1.2.2.1.4

Moltiplica $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Passaggio 1.2.2.1.4.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = - \frac{π}{4}$ e $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \cot (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{5 π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5 π}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $5 \csc^{2} (x)$ e $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $5 \csc^{2} (x)$ e $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 2.6.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Passaggio 2.6.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.4.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Passaggio 2.6.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Passaggio 2.6.4.3

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 2.6.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 2.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.6.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.6.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.6.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.6.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.6.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \cdot 2^{1}$

Passaggio 2.6.5.5

Calcola l'esponente.

$5 \cdot 2$

Passaggio 2.6.6

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $10$ e un punto dato $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.1.5

$5$ e $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $\frac{5 π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Combina i termini opposti in $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Passaggio 3.3.2.3.2

Sottrai $5 π$ da $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Passaggio 3.3.2.4

Dividi $0$ per $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Passaggio 3.3.2.5

Somma $10 x$ e $0$ .

$y = 10 x + 1$

Passaggio 4