Calcolo Esempi

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{1}{2}$ e $y = \frac{π}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 1.3

$3$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

Passaggio 1.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

Passaggio 1.5.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Passaggio 1.5.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

Passaggio 1.5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

Passaggio 1.5.1.6

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 1.5.1.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Passaggio 1.5.1.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Passaggio 1.5.1.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 1.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 1.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 1.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 1.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 1.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.5.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.5.5.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.5.5.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $2 \sqrt{3}$ e un punto dato $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.1.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.1.3.2

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{π}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $- \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$- \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

Passaggio 2.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

Passaggio 2.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $π$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

Passaggio 2.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Passaggio 2.3.3.8

Riscrivi $- (2 \sqrt{3} - π)$ come $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Passaggio 2.3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

Passaggio 3