Calcolo Esempi

$y = \sec (x) - 6 \cos (x)$ , $P = (\frac{π}{3}, - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{3}$ e $y = - 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) - 6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 (- \sin (x))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\sec (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5.1.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.5.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.5.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 1.5.2

Somma $2 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$5 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $5 \sqrt{3}$ e un punto dato $P = (\frac{π}{3}, - 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 5 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 1 = 0 + 0 + 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 2.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Passaggio 2.3.1.4.2

$\frac{π}{3}$ e $- 5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5}{3} \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.1.4.3

$\frac{π \cdot - 5}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta $- 5$ alla sinistra di $π$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 3}{3}$

Passaggio 2.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 5 π \sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 3}{3}$

Passaggio 2.3.3.6

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)}{3}$

Passaggio 2.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Passaggio 2.3.3.8

Riscrivi $- (5 π \sqrt{3} + 3)$ come $- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Passaggio 2.3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3} + 3}{3}$

Passaggio 3