Calcolo Esempi

$y = \ln (x^{2} - 8 x + 1)$ , $(8, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 8$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 1$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (2 x - 8 + 0)$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (2 x - 8)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{x^{2} - 8 x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2 x - 8$ per $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 1}$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $2$ da $2 x - 8$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 1}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 8$ .

$\frac{2 ((8) - 4)}{{(8)}^{2} - 8 \cdot 8 + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $4$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{8^{2} - 8 \cdot 8 + 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.2.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{64 - 8 \cdot 8 + 1}$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $- 8$ per $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{64 - 64 + 1}$

Passaggio 1.5.2.3

Sottrai $64$ da $64$ .

$\frac{2 \cdot 4}{0 + 1}$

Passaggio 1.5.2.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8}{1}$

Passaggio 1.5.3.2

Dividi $8$ per $1$ .

$8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $8$ e un punto dato $(8, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 8 \cdot (x - (8))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 8 \cdot (x - 8)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 8 \cdot (x - 8)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $8 \cdot (x - 8)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 8 x + 8 \cdot - 8$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$y = 8 x - 64$

Passaggio 3