Calcolo Esempi

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = - 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Passaggio 1.1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ come ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

Passaggio 1.3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.7.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

Passaggio 1.3.7.2

Moltiplica $6$ per $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.4.2.1

$54$ e $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Passaggio 1.4.2.2

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ e $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $54$ per $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.6.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.6.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.6.2.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

Passaggio 1.6.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1}$

Passaggio 1.6.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $0$ e un punto dato $(0, - 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $0 \cdot (x + 0)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$y + 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 3$

Passaggio 3