Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x}{x + 2}$ , $(2, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x + 2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$2 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$2 \frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 \frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$2 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.4

Somma $0$ e $2$ .

$2 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.5

$2$ e $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{4}{{((2) + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.1.1

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{4}{4^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{16}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (1)}{16}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.5.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{4}$ e un punto dato $(2, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $- 1$ e $2$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Passaggio 3