Calcolo Esempi

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = e$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 1.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.5.2.1

Sottrai $2 x e^{x}$ da $e^{x} (2 x)$ .

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Passaggio 1.5.2.1.1

Sposta $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Sottrai $2 x e^{x}$ da $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 1.5.2.3

Somma $- 2 e^{x}$ e $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Passaggio 1.5.2.4

Somma $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i fattori di $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Passaggio 1.5.4

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = 1$ .

${(1)}^{2} e^{1}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 e^{1}$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $e^{1}$ per $1$ .

$e^{1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica.

$e$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $e$ e un punto dato $(1, e)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - e = e \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $e \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - e = e x + e \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e$ .

$y - e = e x - 1 \cdot e$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi $- 1 e$ come $- e$ .

$y - e = e x - e$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $e$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = e x - e + e$

Passaggio 2.3.2.2

Combina i termini opposti in $e x - e + e$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Somma $- e$ e $e$ .

$y = e x + 0$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $e x$ e $0$ .

$y = e x$

Passaggio 3