Calcolo Esempi

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

Passaggio 1.2.6

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

Passaggio 1.2.6.2

Riordina i termini.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

Passaggio 1.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $2 y^{8} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $8 y^{7} x^{2}$ ciascun termine in $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $8 y^{7} x^{2}$ ciascun termine in $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{8} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $8 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{8}$ e $y^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.2.1

Scomponi $y^{7}$ da $- y^{8} x$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.2.2.1

Scomponi $y^{7}$ da $4 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Passaggio 1.5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Passaggio 1.5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.3.1

Scomponi $x$ da $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.3.2.1

Scomponi $x$ da $4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Passaggio 1.5.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Passaggio 1.5.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

Passaggio 1.5.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 3$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$- \frac{y}{4 (3)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{1}{4 (3)}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- \frac{1}{12}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{12}$ e un punto dato $(3, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{12}$ nel numeratore.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $3$ da $12$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{- 1}{4}$ e $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $1$ e $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

Passaggio 3