Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{x}$ at $(1, - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Passaggio 1.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(1, - 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$y + 1 = x - 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - 1 - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$y = x - 2$

Passaggio 3