Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at the point $(1, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Passaggio 1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{3}{1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $3$ per $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 3$ e un punto dato $(1, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 3 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 3 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y - 1 = - 3 x + 3$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 3 x + 3 + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$y = - 3 x + 4$

Passaggio 3