Calcolo Esempi

$f (x) = \ln^{3} (x)$ at $x = 2$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 2$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = \ln ({(2)}^{3})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (2^{3})$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln ({(2)}^{3})$

Passaggio 1.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = \ln (8)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \ln (8)$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x)}^{3}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come ${(x)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con ${(x)}^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.2.1

$3$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3}{x^{3}} x^{2}$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{3}{x^{3}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 2.2.2.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Passaggio 2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Passaggio 2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Passaggio 2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{x}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{3}{2}$ e un punto dato $(2, \ln (8))$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (8)) = \frac{3}{2} \cdot (x - (2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \ln (8) = \frac{3}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{3}{2} \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \ln (8) = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \ln (8) = \frac{3}{2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \ln (8) = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y - \ln (8) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - \ln (8) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))$

Passaggio 3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$y - \ln (8) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y - \ln (8) = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y - \ln (8) = \frac{3 x}{2} - 3$

Passaggio 3.3.2

Somma $\ln (8)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{3 x}{2} - 3 + \ln (8)$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{3}{2} x - 3 + \ln (8)$

Passaggio 4