Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 5}$ ; $(3, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{x^{2} - 5}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x^{2} - 5$ per $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.9

$4$ e $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 20}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.3

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} - 20$ .

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Passaggio 1.10.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) - 20}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.3.2

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.3.3

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 (- 5)$ .

$\frac{4 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{4 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.5

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{4 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{4 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.7

Riscrivi $- (x^{2} + 5)$ come $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.11

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$- \frac{4 ({(3)}^{2} + 5)}{{({(3)}^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

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Passaggio 1.12.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.12.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 (9 + 5)}{{(3^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.12.1.2

Somma $9$ e $5$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{{(3^{2} - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{{(9 - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2.2

Sottrai $5$ da $9$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{4^{2}}$

Passaggio 1.12.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4 \cdot 14}{16}$

Passaggio 1.12.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 1.12.3.1

Moltiplica $4$ per $14$ .

$- \frac{56}{16}$

Passaggio 1.12.3.2

Elimina il fattore comune di $56$ e $16$ .

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Passaggio 1.12.3.2.1

Scomponi $8$ da $56$ .

$- \frac{8 (7)}{16}$

Passaggio 1.12.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.2.2.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$- \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot 2}$

Passaggio 1.12.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot 2}$

Passaggio 1.12.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{7}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{7}{2}$ e un punto dato $(3, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{7}{2} \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = - \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = - \frac{7}{2} \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = - \frac{7}{2} x - \frac{7}{2} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{7}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} - \frac{7}{2} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{7}{2} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} + 3 (\frac{7}{2})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$3$ e $\frac{7}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} + \frac{3 \cdot 7}{2}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $3$ per $7$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 7}{2} + \frac{21}{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$y - 3 = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2} + 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{21 + 6}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $21$ e $6$ .

$y = - \frac{7 x}{2} + \frac{27}{2}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{7}{2} x) + \frac{27}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{7}{2} x + \frac{27}{2}$

Passaggio 3