Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ at $(- 6, - 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 6$ e $y = - 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.3

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $\frac{2 x}{3} + 3$ e $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = - 6$ .

$\frac{2 (- 6)}{3} + 3$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{- 12}{3} + 3$

Passaggio 1.6.2

Dividi $- 12$ per $3$ .

$- 4 + 3$

Passaggio 1.6.3

Somma $- 4$ e $3$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(- 6, - 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - 1 \cdot (x - (- 6))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x + 6)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x + 6)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 = - 1 x - 1 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y + 2 = - x - 1 \cdot 6$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$y + 2 = - x - 6$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x - 6 - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2$ da $- 6$ .

$y = - x - 8$

Passaggio 3