Calcolo Esempi

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.3

$e^{- x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.5

Differenzia.

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Passaggio 1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Passaggio 1.5.3.4

Riordina i termini.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Passaggio 1.7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Passaggio 1.7.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Passaggio 1.7.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Passaggio 1.7.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

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Passaggio 1.7.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Passaggio 1.7.2.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Passaggio 1.7.2.5

Sposta $e^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Passaggio 1.7.3

Somma $0$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{e}$ e un punto dato $(1, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{1}{e}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.3

$\frac{1}{e}$ e $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Passaggio 2.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Passaggio 3