Calcolo Esempi

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = e^{\sin (x)}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Passaggio 1.3.5.2

Riordina i termini.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riordina i fattori in $y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Riordina i fattori in $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

Passaggio 1.5.3

Somma $x y' \sin (y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

Passaggio 1.5.4

Sottrai $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 1.5.5

Scomponi $y'$ da $y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $y'$ da $x y' \sin (y)$ .

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 1.5.5.2

Scomponi $y'$ da $y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ .

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 1.5.6

Dividi per $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ ciascun termine in $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Dividi per $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ ciascun termine in $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ .

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 0$ e $y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.3.4

Moltiplica $\cos (0)$ per $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.3.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.3.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.3.7

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

Passaggio 1.7.4.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

Passaggio 1.7.4.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Passaggio 1.7.4.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.7.5

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.7.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(0, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $1 \cdot (x + 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $x + 0$ per $1$ .

$y = x + 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$y = x$

Passaggio 3