Calcolo Esempi

$f (x) = \ln^{5} (x)$ at $x = 5$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 5$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

$y = \ln ({(5)}^{5})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (5^{5})$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln ({(5)}^{5})$

Passaggio 1.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$y = \ln (3125)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 5$ e $y = \ln (3125)$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x)}^{5}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come ${(x)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con ${(x)}^{5}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Passaggio 2.2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.2.1

$5$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{5}{x^{5}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Passaggio 2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{5}$ .

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Passaggio 2.2.2.3.1

Scomponi $x^{4}$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Passaggio 2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.3.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Passaggio 2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Passaggio 2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{x}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = 5$ .

$\frac{5}{5}$

Passaggio 2.4

Dividi $5$ per $5$ .

$1$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(5, \ln (3125))$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3125)) = 1 \cdot (x - (5))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \ln (3125) = 1 \cdot (x - 5)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$y - \ln (3125) = x - 5$

Passaggio 3.3.2

Somma $\ln (3125)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - 5 + \ln (3125)$

Passaggio 4