Calcolo Esempi

$g (x) = e^{x^{7} - 8 x}$ , $(- 1, e^{7})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = e^{7}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{7} - 8 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{7} - 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{7} - 8 x$ .

$e^{x^{7} - 8 x} \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{7} - 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8)$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = - 1$ .

$e^{{(- 1)}^{7} - 8 \cdot - 1} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$e^{- 1 - 8 \cdot - 1} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$e^{- 1 + 8} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 1$ e $8$ .

$e^{7} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

Passaggio 1.4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$e^{7} (7 \cdot 1 - 8)$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$e^{7} (7 - 8)$

Passaggio 1.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.4.1

Sottrai $8$ da $7$ .

$e^{7} \cdot - 1$

Passaggio 1.4.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{7}$ .

$- 1 \cdot e^{7}$

Passaggio 1.4.4.3

Riscrivi $- 1 e^{7}$ come $- e^{7}$ .

$- e^{7}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- e^{7}$ e un punto dato $(- 1, e^{7})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e^{7}) = - e^{7} \cdot (x - (- 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - e^{7} = - e^{7} \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- e^{7} \cdot (x + 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - e^{7} = 0 + 0 - e^{7} \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - e^{7} = - e^{7} \cdot (x + 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - e^{7} = - e^{7} x - e^{7} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y - e^{7} = - e^{7} x - e^{7}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $e^{7}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - e^{7} x - e^{7} + e^{7}$

Passaggio 2.3.2.2

Combina i termini opposti in $- e^{7} x - e^{7} + e^{7}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Somma $- e^{7}$ e $e^{7}$ .

$y = - e^{7} x + 0$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $- e^{7} x$ e $0$ .

$y = - e^{7} x$

Passaggio 3