Calcolo Esempi

$y = {(e^{2 x} - 3)}^{2}$ , $(0, 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x} - 3$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{2 x} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{2 x} - 3$ .

$2 (e^{2 x} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 3]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.4.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (2 e^{2 x} + 0)$

Passaggio 1.4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.5.1

Somma $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$2 (e^{2 x} - 3) (2 e^{2 x})$

Passaggio 1.4.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (e^{2 x} - 3) e^{2 x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 3) e^{2 x}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Passaggio 1.5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $e^{2 x}$ per $e^{2 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.3.1.1

Sposta $e^{2 x}$ .

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Passaggio 1.5.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Passaggio 1.5.3.1.3

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 3 e^{2 x}$

Passaggio 1.5.3.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$4 e^{4 (0)} - 12 e^{2 (0)}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$4 e^{0} - 12 e^{2 (0)}$

Passaggio 1.7.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$4 \cdot 1 - 12 e^{2 (0)}$

Passaggio 1.7.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 - 12 e^{2 (0)}$

Passaggio 1.7.1.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$4 - 12 e^{0}$

Passaggio 1.7.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$4 - 12 \cdot 1$

Passaggio 1.7.1.6

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$4 - 12$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$- 8$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 8$ e un punto dato $(0, 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 8 x + 4$

Passaggio 3