Calcolo Esempi

$y = {(1 + 2 x)}^{10}$ , $(0, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{10}$ e $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 2 x$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(1 + 2 x)}^{9} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $2$ per $10$ .

$20 {(1 + 2 x)}^{9} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 {(1 + 2 x)}^{9} \cdot 1$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $20$ per $1$ .

$20 {(1 + 2 x)}^{9}$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$20 {(1 + 2 (0))}^{9}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$20 {(1 + 0)}^{9}$

Passaggio 1.4.2

Somma $1$ e $0$ .

$20 \cdot 1^{9}$

Passaggio 1.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$20 \cdot 1$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $20$ per $1$ .

$20$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $20$ e un punto dato $(0, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 20 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 20 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 1 = 20 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 20 x + 1$

Passaggio 3