Calcolo Esempi

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(6, 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 6$ e $y = 5$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi ${(y - 3)}^{2}$ come $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Passaggio 1.2.2

Espandi $(y - 3) (y - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Passaggio 1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Passaggio 1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Passaggio 1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Passaggio 1.2.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Passaggio 1.2.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $3 y$ da $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 6 y + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 y$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.9

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Passaggio 1.2.10

Somma $2 y y' - 6 y'$ e $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 (x - 5)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (1 + 0)$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y y' - 6 y'$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = 4$

Passaggio 1.5.1.2

Scomponi $2 y'$ da $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Passaggio 1.5.1.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = 4$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $2 (y - 3)$ ciascun termine in $2 y' (y - 3) = 4$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $2 (y - 3)$ ciascun termine in $2 y' (y - 3) = 4$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 6$ e $y = 5$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$\frac{2}{y - 3}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $5$ nell'espressione.

$\frac{2}{(5) - 3}$

Passaggio 1.7.3

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{2}{2}$

Passaggio 1.7.4

Dividi $2$ per $2$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(6, 5)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 1 \cdot (x - (6))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 5 = 1 \cdot (x - 6)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x - 6$ per $1$ .

$y - 5 = x - 6$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - 6 + 5$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 6$ e $5$ .

$y = x - 1$

Passaggio 3