Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.3

Sottrai $2$ da $8$ .

$y = \frac{1}{6^{2}}$

Passaggio 1.2.3.4

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1}{36}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \frac{1}{36}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ come ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - x$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

Passaggio 2.5.2

Riordina i fattori di $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ .

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

Passaggio 2.6

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.7.1.3

Sottrai $2$ da $8$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

Passaggio 2.7.1.4

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Sottrai $1$ da $12$ .

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$- 11 (\frac{2}{216})$

Passaggio 2.7.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

Passaggio 2.7.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $216$ .

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Passaggio 2.7.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

Passaggio 2.7.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 11 (\frac{1}{108})$

Passaggio 2.7.2.2.4

$- 11$ e $\frac{1}{108}$ .

$\frac{- 11}{108}$

Passaggio 2.7.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{108}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{11}{108}$ e un punto dato $(2, \frac{1}{36})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.2.2

$x$ e $\frac{11}{108}$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11}{108}$ nel numeratore.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.2.3.2

Scomponi $2$ da $108$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.2.3.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.2.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.2.4

$\frac{- 11}{54}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

Passaggio 3.3.1.2.5

Moltiplica $- 11$ per $- 1$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

Passaggio 3.3.1.3

Sposta $11$ alla sinistra di $x$ .

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $\frac{1}{36}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $\frac{11}{54}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

Passaggio 3.3.2.3

Per scrivere $\frac{1}{36}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $108$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $\frac{11}{54}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Moltiplica $54$ per $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{36}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.4.4

Moltiplica $36$ per $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

Passaggio 3.3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

Passaggio 3.3.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Moltiplica $11$ per $2$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

Passaggio 3.3.2.6.2

Somma $22$ e $3$ .

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

Passaggio 3.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

Passaggio 4