Calcolo Esempi

$4 x^{2} + 2 y^{2} = 12$ , $(1, - 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$8 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$8 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$8 x + 2 (2 y y')$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 x + 4 y y'$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$4 y y' + 8 x$

Passaggio 1.3

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 y y' + 8 x = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y y' = - 8 x$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y y' = - 8 x$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y y' = - 8 x$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{4 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{4 y}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 y}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 (y)}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 (- 2 x)}{4 y}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = - 2$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{2 (1)}{y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $- 2$ nell'espressione.

$- \frac{2 (1)}{- 2}$

Passaggio 1.7.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- - 1$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(1, - 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 1 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 2 = 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$y + 2 = x - 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - 1 - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$y = x - 3$

Passaggio 3