Calcolo Esempi

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ at the point $(4, - \frac{57}{4})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = - \frac{57}{4}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.9

$- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.11

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

$5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + 0$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$\frac{5}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.7.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.7.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.7.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Passaggio 1.7.1.2.4

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Passaggio 1.7.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Passaggio 1.7.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{16} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5}{16} - 1$

Passaggio 1.7.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 1.7.3

$- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Passaggio 1.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 - 1 \cdot 16}{16}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{5 - 16}{16}$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai $16$ da $5$ .

$\frac{- 11}{16}$

Passaggio 1.7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{16}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{11}{16}$ e un punto dato $(4, - \frac{57}{4})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{57}{4}) = - \frac{11}{16} \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + \frac{57}{4} = 0 + 0 - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} x - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.2

$x$ e $\frac{11}{16}$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11}{16}$ nel numeratore.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{16} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 (4)} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.2.4

$\frac{- 11}{4}$ e $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Moltiplica $- 11$ per $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{11}{4}$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta $11$ alla sinistra di $x$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $\frac{57}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4} - \frac{57}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{11 - 57}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

Sottrai $57$ da $11$ .

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Passaggio 2.3.2.4.2

Elimina il fattore comune di $- 46$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 46$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 (- 23)}{4}$

Passaggio 2.3.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 23}{2}$

Passaggio 2.3.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{11 x}{16} - \frac{23}{2}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{11}{16} x) - \frac{23}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{11}{16} x - \frac{23}{2}$

Passaggio 3