Calcolo Esempi

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Passaggio 1.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 y' + 0$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $3 y'$ e $0$ .

$3 y'$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $3 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $2 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y'$ da $2 x^{2} y y' - 3 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y'$ da $2 x^{2} y y'$ .

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $2 x^{2} y - 3$ ciascun termine in $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $2 x^{2} y - 3$ ciascun termine in $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x^{2} y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Passaggio 1.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Passaggio 1.7.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

Passaggio 1.7.4.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

Passaggio 1.7.4.2

Semplifica $2^{3} \cdot 1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

Passaggio 1.7.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

Passaggio 1.7.4.4

Sottrai $3$ da $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

Passaggio 1.7.5.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{4}{5}$ e un punto dato $(2, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$2$ e $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Passaggio 2.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $8$ e $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Passaggio 3