Calcolo Esempi

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(2, 8)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 8$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - x$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

Passaggio 1.3

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$3 {({(2)}^{2} - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$3 {(4 - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 {(4 - 2)}^{2} (2 (2) - 1)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.2.1

Sottrai $2$ da $4$ .

$3 \cdot 2^{2} (2 (2) - 1)$

Passaggio 1.4.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 4 (2 (2) - 1)$

Passaggio 1.4.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 (2 (2) - 1)$

Passaggio 1.4.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$12 (4 - 1)$

Passaggio 1.4.2.5

Sottrai $1$ da $4$ .

$12 \cdot 3$

Passaggio 1.4.2.6

Moltiplica $12$ per $3$ .

$36$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $36$ e un punto dato $(2, 8)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 36 \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $36 \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 8 = 0 + 0 + 36 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 8 = 36 x + 36 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $36$ per $- 2$ .

$y - 8 = 36 x - 72$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 36 x - 72 + 8$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 72$ e $8$ .

$y = 36 x - 64$

Passaggio 3