Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ at $(2, \frac{5}{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \frac{5}{3}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{4}{3}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $\frac{4 x}{3} - 1$ e $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 1$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{4 (2)}{3} - 1$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8}{3} - 1$

Passaggio 1.6.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 1.6.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 1.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 1.6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{8 - 3}{3}$

Passaggio 1.6.5.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$\frac{5}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{5}{3}$ e un punto dato $(2, \frac{5}{3})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{3}) = \frac{5}{3} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{5}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{5}{3}$ e $x$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot - 2$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{5}{3}$ e $- 2$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 2}{3}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{5}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{5 x - 10 + 5}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

Somma $- 10$ e $5$ .

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Scomponi $5$ da $5 x - 5$ .

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Passaggio 2.3.2.4.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$y = \frac{5 (x) - 5}{3}$

Passaggio 2.3.2.4.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$y = \frac{5 (x) + 5 (- 1)}{3}$

Passaggio 2.3.2.4.3

Scomponi $5$ da $5 (x) + 5 (- 1)$ .

$y = \frac{5 (x - 1)}{3}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5 x + 5 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

Passaggio 2.3.3.3

Dividi la frazione $\frac{5 x - 5}{3}$ in due frazioni.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.3.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Passaggio 2.3.3.5

Riordina i termini.

$y = \frac{5}{3} x - \frac{5}{3}$

Passaggio 3