Calcolo Esempi

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 8)}^{2}$ ; $(3, - 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 3$ e $y = - 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8)}^{2}] + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 8$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 8$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8] + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x + 0) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \cdot - 1$

Passaggio 1.3.11.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x - 1 \cdot {(x^{2} - 8)}^{2}$

Passaggio 1.3.11.3

Riscrivi $- 1 {(x^{2} - 8)}^{2}$ come $- {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Passaggio 1.4.4

Scomponi $x^{2} - 8$ da $(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

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Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $x^{2} - 8$ da $(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x$ .

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 8)}^{2}$

Passaggio 1.4.4.2

Scomponi $x^{2} - 8$ da $- {(x^{2} - 8)}^{2}$ .

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 8) (- (x^{2} - 8))$

Passaggio 1.4.4.3

Scomponi $x^{2} - 8$ da $(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 8) (- (x^{2} - 8))$ .

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8))$

Passaggio 1.4.5

Riordina i fattori di $(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Passaggio 1.4.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Passaggio 1.4.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.4.6.2.1

Sposta $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Passaggio 1.4.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

Passaggio 1.4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 8) (x^{2} - 8)$

Passaggio 1.4.6.4

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$

Passaggio 1.4.7

Sottrai $x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$

Passaggio 1.4.8

Espandi $(4 x - 5 x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.9.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.4.9.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.4

Moltiplica $- 8$ per $- 5$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 40 x^{2} + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

Passaggio 1.4.9.5

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 40 x^{2} + 8 x^{2} - 64$

Passaggio 1.4.10

Somma $40 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 48 x^{2} - 64$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 27 - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $4$ per $27$ .

$108 - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $- 32$ per $3$ .

$108 - 96 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$108 - 96 - 5 \cdot 81 + 48 {(3)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6.1.5

Moltiplica $- 5$ per $81$ .

$108 - 96 - 405 + 48 {(3)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$108 - 96 - 405 + 48 \cdot 9 - 64$

Passaggio 1.6.1.7

Moltiplica $48$ per $9$ .

$108 - 96 - 405 + 432 - 64$

Passaggio 1.6.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Sottrai $96$ da $108$ .

$12 - 405 + 432 - 64$

Passaggio 1.6.2.2

Sottrai $405$ da $12$ .

$- 393 + 432 - 64$

Passaggio 1.6.2.3

Somma $- 393$ e $432$ .

$39 - 64$

Passaggio 1.6.2.4

Sottrai $64$ da $39$ .

$- 25$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 25$ e un punto dato $(3, - 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - 25 \cdot (x - (3))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 2 = - 25 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 25 \cdot (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 2 = 0 + 0 - 25 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 2 = - 25 \cdot (x - 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 = - 25 x - 25 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 25$ per $- 3$ .

$y + 2 = - 25 x + 75$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 25 x + 75 - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2$ da $75$ .

$y = - 25 x + 73$

Passaggio 3