Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(16, \frac{17}{4})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 16$ e $y = \frac{17}{4}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Passaggio 1.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Passaggio 1.3.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 16$ .

$\frac{1}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.1.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 1.6.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.6.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 3}}$

Passaggio 1.6.1.3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{6}}$

Passaggio 1.6.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{1 + 6}}$

Passaggio 1.6.1.3.4

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{7}}$

Passaggio 1.6.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{128}$

Passaggio 1.6.2

Per scrivere $\frac{1}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{128}$

Passaggio 1.6.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $128$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{16}{16}$ .

$\frac{16}{8 \cdot 16} - \frac{1}{128}$

Passaggio 1.6.3.2

Moltiplica $8$ per $16$ .

$\frac{16}{128} - \frac{1}{128}$

Passaggio 1.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 - 1}{128}$

Passaggio 1.6.5

Sottrai $1$ da $16$ .

$\frac{15}{128}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{15}{128}$ e un punto dato $(16, \frac{17}{4})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{17}{4}) = \frac{15}{128} \cdot (x - (16))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{15}{128} \cdot (x - 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{17}{4} = 0 + 0 + \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} x + \frac{15}{128} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{15}{128}$ e $x$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{128} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $16$ da $128$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 (8)} \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{8} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{15}{8}$ e $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15 \cdot - 1}{8}$

Passaggio 2.3.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.7.1

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15}{8}$

Passaggio 2.3.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{17}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{17}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{17}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{8}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 17 \cdot 2}{8}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $17$ per $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 34}{8}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 15$ e $34$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{19}{8}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{15}{128} x + \frac{19}{8}$

Passaggio 3