Calcolo Esempi

$y = \sec (x) - 2 \cos (x)$ , $p = (\frac{π}{3}, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{3}$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) - 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 (- \sin (x))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\sec (x) \tan (x) + 2 \sin (x)$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5.1.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Passaggio 1.5.2

Somma $2 \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $3 \sqrt{3}$ e un punto dato $p = (\frac{π}{3}, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{3}$ nel numeratore.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Passaggio 2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Passaggio 2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π)$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π) + 1$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1 π + 1$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3} π + 1$

Passaggio 2.3.3.2.2

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \sqrt{3} π + 1$

Passaggio 3