Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 16$ e $y = 32$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.4

$- 8$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.5

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.6.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.11.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.8

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.9

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.11

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.2.12

Somma $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.12

Calcola la derivata per $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.1.4

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.3

Dividi $12$ per $2$ .

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.13.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.13.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

Passaggio 1.13.1.4.4

Calcola l'esponente.

$6 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.13.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$6 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.13.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$6 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.13.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 - 1$

Passaggio 1.13.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$5$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $5$ e un punto dato $(16, 32)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $5 \cdot (x - 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $5$ per $- 16$ .

$y - 32 = 5 x - 80$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $32$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 5 x - 80 + 32$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 80$ e $32$ .

$y = 5 x - 48$

Passaggio 3