Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = \frac{35}{2}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Somma $4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ e $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 4$

Passaggio 1.5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Passaggio 1.5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2} + 4$

Passaggio 1.5.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$- \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.7.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Passaggio 1.7.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 1.7.1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Passaggio 1.7.1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.7.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Passaggio 1.7.1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{3}} + 4$

Passaggio 1.7.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2^{1 + 3}} + 4$

Passaggio 1.7.1.1.4

Somma $1$ e $3$ .

$- \frac{1}{2^{4}} + 4$

Passaggio 1.7.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{1}{16} + 4$

Passaggio 1.7.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 1.7.3

$4$ e $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Passaggio 1.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 4 \cdot 16}{16}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $4$ per $16$ .

$\frac{- 1 + 64}{16}$

Passaggio 1.7.5.2

Somma $- 1$ e $64$ .

$\frac{63}{16}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{63}{16}$ e un punto dato $(4, \frac{35}{2})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{35}{2}) = \frac{63}{16} \cdot (x - (4))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{63}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{35}{2} = 0 + 0 + \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} x + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{63}{16}$ e $x$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 (4)} \cdot - 4$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{63}{4}$ e $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 2.3.1.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.7.1

Moltiplica $63$ per $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63}{4}$

Passaggio 2.3.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{35}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{35}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{35}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{4}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 35 \cdot 2}{4}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $35$ per $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 70}{4}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 63$ e $70$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{7}{4}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{63}{16} x + \frac{7}{4}$

Passaggio 3