Calcolo Esempi

$f (x) = (x^{3} + 5) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 6$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3} + 5$ e $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 4 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{3} + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(x^{3} + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.9

Somma $6 x - 4$ e $0$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 1.2.12

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 1.2.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.13.2

Sposta $3$ alla sinistra di $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{3} + 5) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{3} + 5) (6 x) + (x^{3} + 5) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (6 x) + 5 (6 x) + (x^{3} + 5) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (6 x) + 5 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 5 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 5 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 5 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 5 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 5 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.3

Moltiplica $6$ per $5$ .

$6 x^{4} + 30 x + x^{3} \cdot - 4 + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.4

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 \cdot x^{3} + 5 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.5

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.7.3

Somma $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.8

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.9

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.9.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.11

Somma $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 30 x - 4 x^{3} - 20 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.12

Sottrai $12 x^{3}$ da $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 30 x - 16 x^{3} - 20 + 6 x^{2}$

Passaggio 1.3.7

Riordina i termini.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 30 x - 20$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 30 (1) - 20$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 30 (1) - 20$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $15$ per $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 30 (1) - 20$

Passaggio 1.5.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 30 (1) - 20$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 30 (1) - 20$

Passaggio 1.5.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 30 (1) - 20$

Passaggio 1.5.1.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$15 - 16 + 6 + 30 (1) - 20$

Passaggio 1.5.1.7

Moltiplica $30$ per $1$ .

$15 - 16 + 6 + 30 - 20$

Passaggio 1.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Sottrai $16$ da $15$ .

$- 1 + 6 + 30 - 20$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$5 + 30 - 20$

Passaggio 1.5.2.3

Somma $5$ e $30$ .

$35 - 20$

Passaggio 1.5.2.4

Sottrai $20$ da $35$ .

$15$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $15$ e un punto dato $(1, 6)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 15 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 6 = 15 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $15 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 6 = 0 + 0 + 15 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 6 = 15 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 = 15 x + 15 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$y - 6 = 15 x - 15$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 15 x - 15 + 6$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $- 15$ e $6$ .

$y = 15 x - 9$

Passaggio 3