Calcolo Esempi

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $\frac{π}{3}$ a $x$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 (\sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \sqrt{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{3}$ e $y = \sqrt{3}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 2.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 2.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 2.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi $4 \cos^{2} (x)$ come ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Passaggio 2.13.4

Riscrivi $4 \sin^{2} (x)$ come ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Passaggio 2.13.5

Riordina $- {(2 \sin (x))}^{2}$ e ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Passaggio 2.13.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 \cos (x)$ e $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Passaggio 2.13.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.8

Espandi $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.9

Combina i termini opposti in $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.9.1

Riordina i fattori nei termini di $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ e $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.9.2

Somma $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ e $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.9.3

Somma $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ e $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.10.1

Moltiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.10.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.10.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.10.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.10.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.10.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.13.10.2

Moltiplica $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.10.2.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 2.13.10.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 2.13.10.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 2.13.10.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.13.10.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Passaggio 2.14

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{3}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.15.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$1 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Passaggio 2.15.1.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$1 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.8

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - 4 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.8.5

Calcola l'esponente.

$1 - 4 \frac{3}{2^{2}}$

Passaggio 2.15.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$1 - 4 (\frac{3}{4})$

Passaggio 2.15.1.10

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.10.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$1 + 4 (- 1) \frac{3}{4}$

Passaggio 2.15.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$1 + 4 \cdot - 1 \frac{3}{4}$

Passaggio 2.15.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$1 - 1 \cdot 3$

Passaggio 2.15.1.11

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 - 3$

Passaggio 2.15.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 2$ e un punto dato $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{3}) = - 2 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \sqrt{3} = - 2 x - 2 (- \frac{π}{3})$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 2 (- \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y - \sqrt{3} = - 2 x + 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 3.3.1.4.2

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = - 2 x + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 3.3.2

Somma $\sqrt{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per scrivere $\sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.3.2

$\sqrt{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - 2 x + \frac{2 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y = - 2 x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4