Calcolo Esempi

$f (x) = {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 2$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ${(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica $10$ per $2$ .

$y = {(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Sottrai $4$ da $20$ .

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.2.1.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.2.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 4^{1}$

Passaggio 1.2.2.3

Calcola l'esponente.

$y = 4$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 10 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $10 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $10 x - 4$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.6.3

Sposta ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.8

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 2.11

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Passaggio 2.12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Somma $10$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Passaggio 2.12.2

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.12.3

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Scomponi $2$ da $2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{{(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.14

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{5}{{(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{5}{{(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15.2

Sottrai $4$ da $20$ .

$\frac{5}{16^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{5}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.15.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.15.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4^{1}}$

Passaggio 2.15.6

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{4}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{5}{4}$ e un punto dato $(2, 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{5}{4} \cdot (x - (2))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $\frac{5}{4} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.4

$\frac{5}{4}$ e $x$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 (2)} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.6

$\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 3.3.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.7.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

Passaggio 3.3.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2}$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 8}{2}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Somma $- 5$ e $8$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{3}{2}$

Passaggio 4