Calcolo Esempi

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ come ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{5}$ e ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.11

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.12

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Passaggio 1.14

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

Passaggio 1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ .

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.15.2

Moltiplica $6 x^{2} + 8$ per $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.15.3

Scomponi $2$ da $6 x^{2} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.3.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.15.3.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.15.3.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.16

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.2.3

Somma $12$ e $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.3.1.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.3.2

Somma $16$ e $16$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.3.3

Riscrivi $32$ come $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 1.17.3.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Passaggio 1.17.3.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Passaggio 1.17.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

Passaggio 1.17.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

Passaggio 1.17.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.4.1

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

Passaggio 1.17.4.2

Moltiplica $5$ per $16$ .

$\frac{32}{80}$

Passaggio 1.17.4.3

Elimina il fattore comune di $32$ e $80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.4.3.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$\frac{16 (2)}{80}$

Passaggio 1.17.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.4.3.2.1

Scomponi $16$ da $80$ .

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Passaggio 1.17.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Passaggio 1.17.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{2}{5}$ e un punto dato $(2, 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{2}{5}$ e $x$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{2}{5}$ e $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 2.3.2.3

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 4$ e $10$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

Passaggio 3