Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(9, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 9$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.9

Calcola la derivata per $x = 9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.10.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.10.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.10.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.10.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.10.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.10.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 1.10.1.4

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.10.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{1}{6}$ e un punto dato $(9, 3)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.5.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Passaggio 2.3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 3$ e $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Passaggio 3