Calcolo Esempi

$y = \ln (x^{\frac{7}{2}})$ ; $(1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.7

$\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 1.8

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ per $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.9.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 1.9.2

Sposta $x^{\frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Passaggio 1.10

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.10.1

Moltiplica $x^{\frac{7}{2}}$ per $x^{- \frac{5}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.10.1.1

Sposta $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Passaggio 1.10.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Passaggio 1.10.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Passaggio 1.10.1.4

Somma $- 5$ e $7$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.10.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{7}{2 x^{1}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{7}{2 x}$

Passaggio 1.11

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{7}{2 (1)}$

Passaggio 1.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{7}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{7}{2}$ e un punto dato $(1, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{7}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $\frac{7}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{7}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

$\frac{7}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{7}{2} x - \frac{7}{2}$

Passaggio 3