Calcolo Esempi

$f (x) = (x - 4) (x^{2} + 8)$ , $(1, - 27)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 27$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x^{2} + 8$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 4) (2 x + 0) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$(x - 4) (2 x) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 4$ .

$2 \cdot (x - 4) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + 0)$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) \cdot 1$

Passaggio 1.2.8.2

Moltiplica $x^{2} + 8$ per $1$ .

$2 (x - 4) x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 2 \cdot - 4) x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3.3.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$2 x^{2} - 8 x + x^{2} + 8$

Passaggio 1.3.3.6

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x + 8$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 8$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 8$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 8 \cdot 1 + 8$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$3 - 8 + 8$

Passaggio 1.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 1.5.2.1

Sottrai $8$ da $3$ .

$- 5 + 8$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $- 5$ e $8$ .

$3$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $3$ e un punto dato $(1, - 27)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 27) = 3 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $3 \cdot (x - 1)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 27 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 27 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y + 27 = 3 x - 3$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $27$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3 x - 3 - 27$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $27$ da $- 3$ .

$y = 3 x - 30$

Passaggio 3