Calcolo Esempi

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.6

Moltiplica $\cos (0)$ per $1$ .

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 1 + \cos (0)$

Passaggio 1.6.1.8

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 1 + 1$

Passaggio 1.6.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 1.6.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$1 + 1$

Passaggio 1.6.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$2$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(0, 1)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 1 = 2 x$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2 x + 1$

Passaggio 3