Calcolo Esempi

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 1.3.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2 x - 2$ per $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e ${(x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $x - 1$ da $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.5.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x - 1}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{2}{1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(2, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $2 \cdot (x - 2)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Passaggio 3