Calcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 5$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Passaggio 1.2

$2$ e $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4.8.3

Moltiplica $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ per $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $x - 1$ per ${(x - 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $x - 1$ per ${(x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3.2

Combina i termini opposti in $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

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Passaggio 1.6.3.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3.4

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3.6

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3.7

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.4

Scomponi $8$ da $- 8 x - 24$ .

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Passaggio 1.6.4.1

Scomponi $8$ da $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.4.2

Scomponi $8$ da $- 24$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.4.3

Scomponi $8$ da $8 (- x) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.6

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.8

Riscrivi $- (x + 3)$ come $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.6.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.7

Calcola la derivata per $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Somma $5$ e $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.8.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.8.2.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Passaggio 1.8.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Passaggio 1.8.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Passaggio 1.8.3.2

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64}{64}$

Passaggio 1.8.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(5, 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - 5)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1.4.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

Passaggio 2.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + 5 + 4$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $5$ e $4$ .

$y = - x + 9$

Passaggio 3